אליצור, בנם של פרופסור יהודה אליצור וסופרת הילדים רבקה אליצור, נולד בירושלים. הוא היה מתלמידיו של הרב צבי יהודה הכהן קוק בישיבת מרכז הרב, בטרם התגייס לגדוד 50 של הנח"ל. לאחר שירותו סיים את לימודי התואר השני במתמטיקה באוניברסיטה העברית ושימש כמורה בתיכון "קרית נוער" בירושלים.
במשך שנים נחשב אליצור לאחד הפובליציסטים הבולטים בציבור הדתי-לאומי בישראל. הוא החל את דרכו כבעל טור בעיתון "חדשות", אך התפטר על רקע סגנונו הבוטה של העיתון. בין השנים 1991 ל-2008 היה בעל טור בידיעות אחרונות וערך את המוסף הפוליטי של "מקור ראשון". על עבודתו העיתונאית קיבל את פרס סוקולוב למפעל חיים.
הופעתו הפומבית האחרונה הייתה בטקס יום העצמאות של היישוב עפרה, שם הדליק משואה ונשא נאום שניתן לפרשו כדברי סיכום. אליצור הותיר אחריו אישה, יעל, שישה ילדים ועשרות נכדים.